au bout du rouleau [adv]

En moyen français (XIVe et XVe siècles), on disait être au bout de son rollet.
L'origine de l'expression remonte donc à loin. A très loin, même si l'on en croit l'explication de Claude Duneton.

Autrefois, les 'livres' étaient constitués de feuilles collées bout à bout, écrites sur une seule face, puis enroulées et entourées avec un parchemin autour du rouleau ainsi obtenu pour le conserver ( et ).
Les rôles ont ainsi été utilisés et conservés jusqu'à la fin du XVIIe siècle. C'est d'ailleurs sous ce nom qu'on appelait les registres administratifs et de ce nom également que vient l'expression "à tour de rôle" (mais c'est une autre histoire à lire ici un de ces jours...).
Contrairement aux textes littéraires, le texte des acteurs médiévaux d'une pièce de théatre était écrit sur un rôle. Ce qui explique maintenant qu'un acteur joue un rôle.

Lorsque la feuille était de petite taille ou le rôle de théatre peu important, on utilisait le nom de rollet. Ainsi, celui qui arrivait au bout du rollet n'avait plus rien à lire ou dire.

A la fin du XVIIe siècle, quelqu'un qui était au bout de son rollet était quelqu'un qui ne savait plus quoi dire à la fin d'un discours, plus quoi faire dans ce qu'il avait entrepris, plus quoi répondre ou plus trouver de quoi vivre.

Puis le rollet a laissé la place au rouleau qu'on retrouve d'ailleurs chez Diderot : "Tout est déjà écrit sur le Grand Rouleau" de Jacques le fataliste.

C'est, détachée de l'origine théâtrale et avec la signification de 'à bout de ressources' qu'au XIXe siècle l'expression a été conservée, d'autant plus que les ressources financières étaient alors aussi matérialisées par les rouleaux qu'on faisait avec les pièces (comme les banquiers le font toujours aujourd'hui).
"Être au bout de son rouleau" c'était ne plus avoir de pièces donc de ressources.

Enfin, cette expression aurait été revitalisée à la fin du XIXe siècle par les cylindres (les rouleaux !) des phonographes de l'époque qui produisaient des sons de plus en plus déformés au fur et à mesure que le ressort du mécanisme arrivait en bout de course, donnant l'impression de peiner et de ne plus en pouvoir.