envoyer paître [v]

On l'a oublié parce que qu'on ne l'utilise plus sous cette forme, mais le verbe paître a d'abord été transitif, puisqu'au XIIe siècle il signifiait, au sens propre, « nourrir un animal », version d'où nous vient repu, issu de repaître (également transitif à l'époque), toujours largement utilisé, qui cohabitait avec pu, pour « nourri » (lorsqu'on a été pu et repu, l'estomac est forcément bien rempli).
Ce verbe a aussi eu d'autres significations, de « conduire au salut », en religion, à « tromper », au XIIIe siècle, lorsqu'employé avec faire ; selon Rey et Chantreau, on a même eu au Moyen-Âge un faire paître avec soi qui signifiait « attirer dans son parti par des promesses ».
Aujourd'hui, le verbe est principalement intransitif, puisqu'on ne paît plus les animaux mais qu'on les fait paître lorsqu'on les mène aux champs brouter cette bonne herbe bien verte qui fait saliver tous les ruminants.
Et comme les champs « broutables » ne sont pas forcément à proximité immédiate de la ferme, faire paître les animaux, c'est souvent les éloigner vers un champ à distance. Il est donc aisé d'imaginer que notre expression est une métaphore de cet éloignement, l'importun étant brutalement envoyé au loin pour éviter qu'il continue à déranger.
Mais il faut savoir que si l'expression est apparue au XVe siècle (attesté en 1461 chez François Villon), dès le XIIIe, faire herbe paistre, également en rapport avec le sens de « tromper », s'utilisait pour « mener comme un sot, en dupant ». Ceci explique que, dans son Dictionnaire français publié en 1680, César Pierre Richelet, donne à notre locution la signification « envoyer promener comme un sot ».
De nos jours, on a donc oublié la sottise de l'importun pour n'en plus considérer que le côté dérangeant justifiant qu'on cherche à l'éloigner sans ménagement.